Chứng minh trực tiếp

Có một chứng minh dễ hiểu cho định lý: Nếu hai sự kiện không phụ thuộc trạng thái, xác suất hai sự kiện cùng xảy ra là tích xác suất mỗi sự kiện. Ví dụ, khả năng mưa ở Hà Nội trong một ngày cụ thể là 0.3, khả năng có động đất ở Thành phố Hồ Chí Minh trong cùng ngày là 0.008, vậy xác suất hai sự kiện cùng xảy ra trong ngày đó là  0.3 × 0.008 = 0.0024. Cho một máy đánh chữ có 50 phím, và từ cần gõ là banana. Giả sử các phím được gõ ngẫu nhiên (xác suất được gõ của các phím bằng nhau) và không phụ thuộc vào nhau, xác suất ký tự đầu tiên là 'b' là 1/50, xác suất ký tự thứ hai là 'a' là 1/50... vì các sự kiện không phụ thuộc lẫn nhau. Từ đó, xác suất sáu ký tự đầu tiên khớp với banana là:(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)6 = 1/15 625 000 000 , nhỏ hơn một phần mười lăm tỉ. Tương tự, xác suất 6 ký tự tiếp theo khớp với banana cũng là (1/50)6, và 6 ký tự tiếp sau đó.... Từ đó, xác suất không gõ ra từ banana trong một khối 6 ký tự là 1 − (1/50)6. Vì mỗi khối được gõ không phụ thuộc lẫn nhau, xác suất Xn để không gõ ra từ banana trong n khối 6 ký tự là:

X n = ( 1 − 1 50 6 ) n . {\displaystyle X_{n}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}.}

Khi n tăng, Xn giảm. Với n bằng một triệu, Xn khoảng 0.9999, nhưng với n bằng mười tỉ Xn chỉ còn khoảng 0.53, và với n là 100 tỉ con số đó là 0.0017. Khi n tiến tới vô cực, Xn tiến tới không; nghĩa là bằng cách cho n đủ lớn, ta có thể có Xn nhỏ như mong muốn,[1] và khi đó xác suất có một khối "banana" trong chuỗi gõ ra tiến tới 1. Hơn nữa vì từ có thể xuất hiện giữa hai khối, khả năng xuất hiện từ banana còn lớn hơn tính toán trên.

Lập luận tương tự chỉ ra tại sao có ít nhất một trong số các con khỉ vô hạn sẽ gõ ra từ cần thiết bằng với tốc độ của một người đánh máy bình thường. trong trường hợp này Xn = (1 − (1/50)6)n khi Xn biểu diễn xác suất n con khỉ đầu tiên không gõ đúng banana trong 6 ký tự đầu tiên. Khi xét 100 tỉ con khỉ, xác suất này là 0.17%, và khi số khỉ tăng lên, xác suất này tiến về không. Dù sao, nếu cho một số khỉ có nghĩa thực hiện gõ trong một khoảng thời gian có nghĩa, kết quả là ngược lại: Nếu có đủ nhiều khỉ và chúng gõ trong vũ trụ quan sát được (1080), và mỗi con khỉ gõ 1,000 ký tự trong một giây, liên tục gõ trong thời gian bằng 100 lần tuổi vũ trụ (1020 giây), xác suất bọn khỉ tái tạo lại một tác phẩm văn học ngắn là gần bằng 0.